ماتریس: قانونی برای هر چیز

Mark Buchanan
برگردان: احسان سنایی

چه می‌شد اگر نظریه‌ای برای توصیف همه چیز، آن‌هم نه‌فقط اتم‌ها و کوارک‌ها، که برای دیگر جنبه‌های حیات روزانه‌مان نیز می‌داشتیم؟ غیرممکن است؟ به نظر نمی‌رسد.

این نظریه‌ی آرمانی، و تمامی داستان‌های پیرامون‌اش، تنها بخشی از پیشرفت‌های اخیر حوزه‌ای از علم فیزیک موسوم به «نظریه‌ی ماتریس تصادفی» (Random Matrix Theory) است که بیش از پنجاه سال پیش، با هدف توصیف ترازهای انرژی هسته‌‌های اتمی ارائه گردید و امروزه هر چیز، از تورم اقتصادی تا رفتار جامدات را می‌توان بدان منسوب نمود.

چیزهایی آن‌قدر زیاد، که پژوهش‌گران بسیاری بر این عقیده‌اند که نظریه‌ی مزبور، اشاره به الگوی ژرفی در سرشت طبیعت دارد که تاکنون ناشناخته مانده بود. «راج ناداکودیتی»، مهندس برق از دانشگاه میشیگان می‌گوید: «حقیقتاً به نظر می‌رسد که انگاره‌های نظریه‌ی ماتریس تصادفی، به‌گونه‌ای در عمق قلب طبیعت رخنه کرده‌اند.»

یوجین وینگر، واضع نظریه‌ی ماتریس تصادفی

همه‌ی این‌ها به طرز شگفتی زائیده‌ی دگرگون‌سازی نادانسته‌های فیزیک‌دانان، به امری سودمند و انتفاعی بود. در سال ۱۹۵۶ میلادی که دانسته‌هایمان از عملکرد درونی هسته‌های اتمی بزرگ و پیچیده همانند اورانیوم، بسیار اندک بود، فیزیک‌دان آلمانی «یوجین ویگنر»، حدس ساده‌ای را مطرح ساخت. طبق اصول مکانیک کوانتومی، هسته‌های هر اتم، همانند پله‌های یک نردبان متشکّل از ترازهای فراوان انرژی است.

برای محاسبه‌ی فواصل مابین این پله‌های ریز، ابتدا نیازمند فهم ده‌هاهزار راهی هستیم که یک هسته می‌تواند از یک پله به دیگری بجهد و بعد از آن نیز محاسبه‌ی احتمال هر کدام از این جهیدن‌ها. ویگنر این را نمی‌دانست و از این‌رو درعوض اعدادی را به نمایندگی از احتمالات موجود، تصادفاً انتخاب و آنها را در آرایه‌ای مربع‌شکل به‌نام «ماتریس» دسته‌بندی نمود.

ماتریس، راه شُسته‌رُفته‌ای برای ابراز ارتباطات متقابل مابین پله‌ها بود و ویگنر را قادر ساخت تا با بهره‌گیری از ریاضیات قدرتمند ماتریس‌ها، تراز انرژی‌ هسته را پیش‌بینی کند. وی به طرز شگفتی دریافت که با فقدان دانش کافی نیز، این مسیر نسبتاً ساده احتمال اشغال ترازهای دیگر را به وی خواهد گفت. نتایجی که ویگنر به‌دست آورد و در نهایت از چند خط محاسبات ساده فراتر نمی‌رفت، بیش از انتظار هر کس مفید واقع شد و آزمایشات چندین سال بعد از آن نیز که این‌بار از مسیر درست عمل می‌کردند، نتایجی نزدیک به آن‌چه وی گفته بود را استنتاج نمودند. با این حال علت این اتفاق همچنان در هاله‌ای از ابهام است.

عجیب‌تر از آن، نحوه‌ی بهره‌گیری از ایده‌ی ویگنر از آن پس تاکنون است. این راه حل را می‌توان به انبوهی از مسائلی که در آنها ثوابت فراوان دخیل‌اند و ارتباط مابینشان را می‌توان در چارچوب یک ماتریس تصادفی پیاده کرد، به کار بست. کشف نخستین ارتباط مابین این ایده و چیزی اساساً بی‌ربط با فیزیک ذرات، پس از ملاقات تصادفی فیزیک‌دان بریتانیایی، «فریمن دایسون» و ریاضیدان آمریکایی، «هوگ مونتگومری» در اوایل دهه‌ی ۷۰ میلادی رخ داد.

در آن زمان مونتگومری، مشغول کاوش در یکی از مشهورترین توابع ریاضیاتی، موسوم به «تابع زتای ریمان» (Riemann Zeta Function) بود که کلیدی برای کشف اعداد اول است. این اعداد شامل ۲، ۳، ۵، ۷ و ... هستند که تنها بر خود و یک بخش‌پذیرند و از آنجاکه هر عدد صحیح بزرگ‌تر از یک را بایستی با یاری یکی از این اعداد به‌دست آورد، جایگاه‌شان در علم ریاضیات، از اهمیت ویژه‌ای برخوردار است. در سال ۱۸۵۹، ریاضیدانی آلمانی به نام «برنهارد ریمان»، به قانون ساده‌ای در خصوص چگونگی آرایش صفرها در تابع زتا دست یافت: صفرها، به‌دقت در ارتباط با توزیع اعداد اول در این تابع آراسته‌ می‌شوند.

ریاضیدانان هیچ‌گاه نتوانستند فرضیه‌‌ی ریمان را به اثبات رسانند. مونتگومری نیز از این قاعده مستثنی نبود، اما فرمولی را به دست آورد که بر اساس آن، با دانستن جایگاه یک صفر دیگر در آن نزدیکی، می‌توان احتمال یافتن صفر دیگری را تعیین نمود. زمانی‌که او این فرمول را برای دایسون شرح داد، این فیزیک‌دان به سرعت فهمید آنچه شنیده، شدیداً در تشابه با همان قانونی است که ویگنر در ارتباط با ترازهای انرژی بدان رسیده بود.

تا به امروز هیچ‌کس نفهمیده اعداد اول چه دخلی به ماتریس تصادفی ویگنر دارند، چه برسد به ترازهای انرژی هسته‌ی یک اتم. با این حال هیچکس در صحت این ارتباط تردیدی ندارد. ریاضیدانی به نام «اندرو اودلیزکو» از دانشگاه مینه‌سوتا، با محاسبه‌ی جایگاه بالغ بر ۱۰ به توان ۲۳ (۱ با ۲۳ صفر در مقابلش) صفر در تابع زتای ریمان، به توافق تقریباً تمام عیار این جایگاه‌ها با نظریه‌ی ماتریس تصادفی ویگنر پی برد. قدرت توصیفی شگفت‌انگیز این نظریه‌ اما به همین‌جا هم ختم نمی‌شود. ماتریس تصادفی در یک دهه‌ی اخیر، حضور بنیادین‌اش را به‌خوبی در توصیف طیف وسیعی از سامانه‌های آشفته‌ی فیزیکی نشان داده است.

مثلاً چندی پیش، فیزیک‌دانی به‌نام «فردیناند کیومت» و دانشجویانش در دانشگاه هاروارد، از این قاعده به‌منظور پیش‌بینی تراز انرژی الکترون‌های نانوذرات طلا که خود ساخته بودند، استفاده کردند. طبق نظریات پیشین، چنین ترازهایی بایستی متأثر از گستره‌ی گیج‌کننده‌ای از عوامل، شامل شکل و ابعاد دقیق نانوذرات و همچنین جایگاه نسبی اتم‌ها که کم‌وبیش تصادفی است، باشند.

به‌هرترتیب تیم کیومرت دریافت که نظریه‌ی ماتریس تصادفی، با دقتی بسیار بالا به توصیف ترازهای مزبور می‌پردازد. گروه دیگری از فیزیک‌دانان به سرپرستی «جک کوییپرز» از دانشگاه رگنزبرگ آلمان، به همان ترتیب ارتباط قدرتمندی را این‌بار مابین رفتار شگفت الکترون‌های آشفته‌ی موجود در یک نقطه‌ی کوانتومی یافتند، نقطه‌ای که در حقیقت جعبه‌ی فرضی و ریزی با توان انسداد و نگه‌داری ذرات منفرد کوانتومی است.

این فهرست، همین‌طور با نمونه‌های اعجاب‌انگیز دیگری از حوزه‌هایی چون گرانش کوانتومی و کرومودینامیک کوانتومی گرفته تا خواص کشسانی بلورها، ادامه می‌یابد. «توماس گور»، فیزیک‌دانی از مؤسسه‌ی فناوری لوند در سوئد می‌گوید: «قوانینی که از نظریه‌ی ماتریس تصادفی نشأت می‌گیرند، اعتباری جهانی برای تقریباً تمامی سامانه‌های کوانتومی دارند.»

این نظریه همچنین ریاضیدانانی همانند «پرسی دیفت» از دانشگاه نیویورک را به تصور وجود الگوهای عمومی‌تر بیشتری کشانده است. او می‌گوید: «این طرز تفکر در ریاضیات رواجی ندارد. بیشتر ریاضیدانان گمان می‌کنند مسائل‌شان، ویژگی‌های متمایز و خاص خود را دارد. اما در سالیان اخیر این مسائل را از جنبه‌های گوناگونی می‌بینیم که اغلب علی‌رغم نبود روابط مشخص، تماماً رفتاری مشابه با یکدیگر دارند.»

مثلاً در مقاله‌ای به سال ۲۰۰۶، او نشان داد که چگونه نظریه‌ی ماتریس تصادفی به‌صورتی کاملاً طبیعی قابل تطابق بر ریاضیات [دخیل در] برخی بازی‌های تک‌نفری، چگونگی خوشه‌ای شدن اتوبوس‌های موجود در شهر، و مسیری که مولکول‌های درون یک گاز حین سراسیمگی‌شان در محیط، نسبت به دیگر مولکول‌ها به جا می‌نهند، می‌باشد.

شاید مهم‌ترین سؤال این باشد که آیا هیچ نظریه‌ی عمیقی در فیزیک و ریاضی وجود دارد که بتوان با آن، علت این واقعیت را که چرا برخی معیارهای تصادفی، بخش‌هایی از حقیقت امر را افشاء می‌کنند، برملا ساخت؟ ناداکودیتی می‌گوید: «بایستی که دلیلی داشته باشد، اما ما هنوز نمی‌دانیم آن چیست». ضمناً نظریه‌ی ماتریس تصادفی تا بدین‌جای کار چگونگی نگرش‌مان به سامانه‌های تصادفی و تلاش‌مان برای فهم رفتارهایشان تغییر داده است. مثلاً ممکن است این نظریه ابزاری جدید در تشخیص تغییرات ناچیز آب‌وهوای جهانی باشد.

نیوساینتیست

در سال ۱۹۹۱ میلادی، طی یک اجماع علمی بین‌المللی، آزمایشی که هم‌اکنون به نام «آزمون امکان‌پذیری جزیره‌ی هِرد» شناخته می‌شود، انجام پذیرفت. ایده‌ی نخستین این آزمایش این بود که با مخابره‌ی صدا میان اقیانوس‌های جهان، می‌توان به‌دقت، افزایش دمای جهانی را محک زد.

آن‌ها صدای بلند و مبهمی را از نزدیکی جزیره‌ی هرد (Heard) در اقیانوس هند مخابره کرده و آرایه‌ای از حسگرها را برای تشخیص‌اش در گراگرد جهان به‌کار گرفتند. تکرار آزمایشی این‌چنین پس از ۲۰ سال، به کسب اطلاعات گرانبهایی از تغییرات اقلیمی خواهد انجامید، اما نگرانی‌ها از بابت تأثیرات سوء صداهای بلند بر حیات دریایی منطقه، خود نشان از این موضوع می‌دهند که آزمایشات مشابه امروزی می‌بایست با سیگنال‌هایی ضعیف صورت پذیرد که البته از حدود تشخیص تجهیزات معمولی ضعیف‌ترند. این‌، همان جایی است که نظریه‌ی ماتریس تصادفی، گامی به پیش می‌نهد.

طی چندین سال اخیر، ناداکودیتی به همراه «آلن ادلمن» و دیگر پژوهش‌گران مؤسسه‌‌ی فناوری ماساچوست، نظریه‌ای پیرامون تشخیص سیگنال‌ها با تکیه بر معیارهای تصادفی تدوین نموده‌اند. اساس این نظریه بر به‌کارگیری آرایه‌ی بزرگی از حسگرهای جهانی است. ناداکودیتی می‌گوید: «ما فهمیده‌ایم که شما طبق اصول می‌توانید از صداهای شدیداً ضعیف استفاده کنید و با این حال آن‌ها را تشخیص دهید.»

دیگرانی نیز هستند که از ماتریس تصادفی برای انجام اعمال شگفت‌آور همانند عبور نور از میان مواد ظاهراً مات و نفوذناپذیر، استفاده می‌کنند. سال گذشته، فیزیک‌دانی به نام «آلارد ماسک» از دانشگاه تونت هلند و دانشجویانش، از این نظریه‌ برای توصیف روابط آماری مابین نوری که بر یک جسم می‌افتد و نوری که از آن پراکنده می‌شود، بهره گرفتند. برای یک جسم ماتی که به‌خوبی نور را پراکنده می‌سارد، چنین ارتباطاتی را می‌توان تماماً با ماتریس تصادفی توصیف نمود.

نهایتاً آنچه از این‌همه پژوهش نتیجه می‌شود، احتمالات شگفتی است که از هیچ آزمایش دیگری به دست نیامده‌اند. ماتریس‌ها نشان از وجود چیزهایی داده‌اند که ماسک آن‌ها را «مجراهای باز» می‌نامد، انواع خاصی از موج که به جای بازتابش، به‌نحوی از میان مواد می‌گذرند. در حقیقت زمانی‌که تیم ماسک، نوری که جبهه‌اش به دقت طرح‌ریزی شده بود را به یک لایه‌ رنگ مات از جنس اکسید روی تابانید، آن‌ها افزایش قابل توجهی را در عبور نور از میان ماده‌ی مزبور، مشاهده کردند. هنوز اما چشمگیرترین کاربردهای نظریه‌ی ماتریس تصادفی در راه‌اند.

در هر چیز از فیزیک ذرات بنیادی و ستاره‌شناسی گرفته تا بوم‌شناسی و اقتصاد، جمع‌آوری و پردازش حجم وسیع اطلاعات، امری پیش پا افتاده شده است. یک اقتصاددان ممکن است صدها مجموعه‌ی اطلاعاتی را غربال کند تا چیزی همانند آینده‌ی نفت، نرخ تقاضا یا موجودی‌های صنعتی، برای توضیح تغییرات نرخ تورم را به‌دست آورد. شرکت‌هایی همانند Amazon.com، به تکنیک‌های مشابهی برای کشف رفتار خریدار و کمک به جهت‌دهی تبلیغات‌شان استفاده می‌کنند. هر چند نظریه‌ی ماتریس تصادفی، چنین روشی را نویدبخش و محتمل می‌داند، اما به خطرات پنهانی پیرامون آن نیز اشاره می‌کند.

مادامی‌که داده‌های بیشتر و پیچیده‌تری جمع‌آوری می‌شوند، شمار متغیرهای نیازمند بررسی و ارتباطات مابین‌شان نیز با سرعت بیش‌تری افزایش می‌یابد. اگر متغیرهای کافی برای آزمون در اختیار باشد، مطمئن می‌شویم که ارتباطات معنی‌دار را تشخیص خواهیم داد، حتی اگر آن‌ها ذاتاً اینچنین نباشند.

فرض کنید آمارهای چندین‌ساله‌ی شمار فراوانی از شاخصه‌‌های اقتصادی شامل نرخ تورم، میزان استخدام، و ارزش موجودی بازار را در اختیار دارید. شما به روابط علت و معلولی مابین‌شان می‌نگرید. بوچاد و همکارانش نشان داده‌اند که حتی اگر این متغیرها تصادفاً به نوسان درآیند، برجسته‌ترین ارتباطی که دیده می‌شود آنقدر بزرگ خواهد بود که از دید ما معنی‌دار و سودمند به نظر رسد. این اصل را «نفرین ابعادی» نام نهاده‌اند و این بدین‌معناست که هرچند انبوهی از اطلاعات، بررسی هر چیزی را آسان‌تر می‌سازد، یافتن الگوهای بی‌معنی را نیز آسان‌تر می‌کند و این همان جایی است که ماتریس تصادفی برای تفکیک مهملات، از حقایق پرمعنی وارد می‌شود.

در اواخر دهه‌ی ۶۰ میلادی، دو ریاضیدان اوکراینی به‌ نام‌های «ولادیمیر مارکنکو» و «لئونید پاستور»، موفق به استنتاج اصل ریاضیاتی بنیادینی شدند که به توصیف ویژگی‌های کلیدی معیارهای بزرگ و تصادفی می‌پردازد. طبق این نتایج، شما قادر خواهید بود میزان ارتباطی که انتظار دارید آن را تصادفاً مابین مجموعه‌داده‌های اطلاعاتیِ در دسترس‌تان بیابید، محاسبه کنید و این، امکان تفکیک موقعیت‌های واقعاً خاص را از رویدادهای صرفاً تصادفی، شدنی می‌کند. قدرت این ارتباطات، معادل ترازهای انرژی هسته‌های اتمی وینگر است!

گروه بوچارد هم‌اکنون نشان داده که این ایده، شبهاتی را در صحت بسیاری از پیش‌بینی‌های اقتصادی، خصوصاً آنهایی که مدعی‌اند افق گفته‌هایشان تا چند ماه آینده است، ایجاد می‌کند. چنین پیش‌بینی‌هایی یقیناً آب و نان مؤسسات اقتصادی را تأمین می‌کنند، اما آیا می‌توان بدانها معتقد بود؟

برای پاسخ به این پرسش، بوچارد و همکارانش به بررسی میزان موفقیتی که طیف وسیعی از شاخصه‌های اقتصادی همانند تولیدات صنعتی، خرده‌فروشی‌ها، اعتماد متقابل تولیدکننده و مصرف‌کننده، میزان تقاضا و قیمت نفت، در تشریح نرخ نورم کشور ایالات متحده داشته‌اند، پرداختند. گروه، با استفاده از آمار‌هایی از سال ۱۹۸۳ تا ۲۰۰۵، ابتدا تمامی ارتباطات احتمالی موجود میان داده‌ها را بررسی نمود و نهایتاً موفق به یافتن همان ارتباطات معنی‌دار شد، الگوهای آشکاری که نشان از چگونگی تأثیر تغییرات لحظه‌ای شاخصه‌های اقتصادی، بر نرخ تورم می‌داد. برای یک بیننده‌ی بی‌خبر، این همانند پیش‌بینی قاطع وضع آتی نرخ تورم بود.

اما زمانی‌که بوچاد، ریاضیات مارکنکو و پاستور را به کار بست، شگفتی دیگری آفریده شد. آنها متوجه شدند تنها اندکی از این ارتباطات را می‌توان حقیقی در نظر گرفت. نتایج نشان می‌داد که نرخ تورم تنها برای یک ماه آینده قابل پیش‌بینی است و اگر بازه‌ی زمانی را به دو ماه افزایش دهیم، ریاضیات مسآله اصلاً چیزی را پیش‌بینی نخواهد کرد! بوچارد می‌گوید: «آنگونه که اغلب اقتصاددانان امید دارند، افزودن داده‌های بیشتر، به‌معنای پیش‌بینی‌های بیشتر نیست.»

در سالیان اخیر، برخی از متخصصین حوزه‌ی اقتصاد، تردیدهایی را نسبت به پیش‌بینی‌های حاصل از حجم سرسام‌آور داده‌های اطلاعاتی اظهار داشته‌اند، اما همین تعداد هم در اقلیت‌اند. بسیاری بر این عقیده مصرّ‌ند که محاسبات بیشتر، به قابلیت‌های پیش‌گویانه‌ی بهتری نیز خواهد انجامید. احتمالاً این یک فریب است و نظریه‌ی ماتریس تصادفی، می‌تواند ابزاری برای تفکیک آنچه حقیقت است و آنچه نیست، باشد.

وینگر اگر بود، شاید از تماشای بسط ایده‌اش از ترازهای انرژی‌ هسته‌های اتمی، به سمت‌وسوی الگوهای جهانی فیزیک و ریاضیات و علوم اجتماعی شگفت‌زده می‌شد. البته این ایده مطمئناً به همان سهولتی که او بدان معتقد بود هم نیست.